纳什均衡

在博弈论中，纳什均衡是一种涉及两个或两个以上的玩家的非合作博弈解决方案概念，其中每个玩家假定知道其他玩家的均衡策略，并没有玩家能通过单方面改变自身战略而获得利益。[1]如果每个玩家选择了一个策略，使得没有玩家可以在其他玩家策略不变的情况下通过改变自身策略而获益，那么目前的一套策略集合和相应的收益构成了一个纳什均衡。

简单地说，Amy和Will是纳什均衡，是指如果Amy在考虑到Will的决定情况下作出最优决定，并且Will在考虑到Amy的决定情况下作出最优决定，同样地，如果每个玩家在做出最优决定的同时，考虑到在游戏中的其他人的决定，则该组玩家处于纳什均衡。

应用

历史

定义

非正式定义

通俗地说，一套策略是一个纳什均衡，如果没有玩家可以从单方面改变他或她的策略中获益。为了理解它的意思，设想每个玩家将策略告诉其他玩家。假设然后每个球员问他或她自己：“知道了对方球员的策略，并且对待其他玩家的策略为无法改变的事物，我是否可以通过改变我的策略而受益？”

如果有任何玩家会回答“是”，那么这一套策略不是纳什均衡。但是，如果每个玩家都倾向于不改变（或对是否改变策略无动于衷），那么一套策略是一个纳什均衡。因此，在纳什均衡中的每个策略对其他所有战略的最好回应。[2]

纳什均衡有时可能会出现非理性的第三人称视角。这是因为纳什均衡不是帕累托最优的情况可能会发生。

纳什均衡也可能在连续的比赛中获得非理性的后果，因为球员可能“威胁”对方与非理性的举动。对于此类游戏，子博弈精炼纳什均衡可能是作为分析的工具更有意义。

正式定义
令 {\displaystyle (S,f)} (S,f)为 {\displaystyle n} n个玩家的博弈，其中 {\displaystyle S_{i}} S_{i}是玩家 {\displaystyle i} i的策略集， {\displaystyle S=S_{1}\times S_{2}\times \dotsb \times S_{n}} S=S_{1}\times S_{2}\times \dotsb \times S_{n}是策略配置集合，并且 {\displaystyle f=(f_{1}(x),\dotsc ,f_{n}(x))} f=(f_{1}(x),\dotsc ,f_{n}(x))是 {\displaystyle x\in S} x\in S的支付函数。令 {\displaystyle x_{i}} x_{i}为玩家 {\displaystyle i} i的策略集， {\displaystyle x_{-i}} x_{{-i}} 为除了玩家 {\displaystyle i} i以外所有玩家的策略配置。当每个玩家 {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}} i\in \{1,\dotsc ,n\}选择策略 {\displaystyle x_{i}} x_{i}产生策略配置 {\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})} x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})，则玩家 {\displaystyle i} i获得支付 {\displaystyle f_{i}(x)} f_{i}(x)。注意支付决定于所选的策略配置，即玩家 {\displaystyle i} i及其它玩家所选择的策略。一个策略配置 {\displaystyle x^{*}\in S} x^{*}\in S是纳什均衡，如果 任何一个玩家单方面改变策略都不是有益的，即

{\displaystyle \forall i,x_{i}\in S_{i}:f_{i}(x_{i}^{*},x_{-i}^{*})\geq f_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).} \forall i,x_{i}\in S_{i}:f_{i}(x_{{i}}^{*},x_{{-i}}^{*})\geq f_{i}(x_{{i}},x_{{-i}}^{*}).
当不平等对所有玩家和所有可行的替代战略持有上述严格（用 {\displaystyle >} >代替 {\displaystyle \geq } \geq ），则平衡被归类为“严格纳什均衡”。如果相反，对于一些玩家，在 {\displaystyle S} S集合 {\displaystyle x_{i}^{*}} x_{i}^{*}和某些其它策略之间存在相等, 然后将平衡被归类为“弱纳什均衡”。

一个博弈可以是纯策略或者混合策略纳什均衡。后者一个纯策略是以固定概率随机选择的。

纳什存在性定理

纳什证明，如果我们允许混合策略，则每个有限个玩家且每个玩家可以从有限多个纯策略中做选择的博弈具有至少一个纳什均衡。