基数效用论与序数效应论

首先说明，基数效用与序数效用都会提的情况，一般只存在于初级和中级微观经济学的教科书，在高级里面，很少很少讲基数效用，基本只有序数效用。

基数效用认为各种乱七八糟的商品和消费束是可以用数字表示而且这些数字都有实际意义的，比如香蕉是3就不能是9，西瓜是10就不能是20什么的。

说的只是单位不同，是不对的，因为严格说来，序数效用根本没单位，因为它本质上是排序之后，将每一个消费束映射到实数集上（这个我等一下会具体解释），或者说让每个消费束对应一个实数数轴上的数而已，实数数轴是没有所谓单位的。唯一有意义的是它的排序，而不是任何它被赋予的具体数值，这是它和基数效用最大的区别。。。 显而易见，基数效用的问题非常多，尤其是莫名其妙地给所有我们的消费选择项赋予一个数字却不给予解释，是很缺乏逻辑基础的，这个逻辑起点非常不稳固。我个人感觉它只是在初级中级里对整个微观经济学消费者理论的一个极度简化。初级和中级教材对于“偏好→效用”这个逻辑过程和其数学表达的根源的阐述，是很少很模糊的。所以这也导致了很多人对微观经济学基础的怀疑。事实上，真正完整的消费者行为模型，逻辑基础和说服力比这个稳固的多、强得多。

在高级微观里，或者说在完整的消费者理论中，效用函数是这样得到的：

首先我们假设我们生存在一个有好多好多供你选择的东西的世界里（全集X），然后小明这个人对不同的东西有自己的偏好（preference）。比如，一个西瓜和一个苹果比，小明更喜欢一个西瓜；一个西瓜和一个橘子比，小明更喜欢一个橘子。这就是我们面对不同消费束，不同选项的时候的偏好。这个偏好，在数学意义上，我们称Relation（Relation的例子很多，实数里”大于号“，”小于号“都是Relation。preference和大于号的区别就在于一个是基于选择集X，比较各种消费束；一个是基于实数集R，比较各种实数）。

然后，我们假设这种偏好关系满足几个基本公理（Axiom），这几条公理假设就是整个消费者选择理论的逻辑基石。

1. 完备性Completeness

简单说就是，任何两个消费束都是可比的。比如，一个西瓜和一个苹果，小明要么更喜欢西瓜，要么更喜欢苹果，要么对西瓜和苹果一样喜欢，没有第四种可能。（A和B，要么A弱偏好于B，要么B弱偏好于A）

2. 自反性Reflexivity

这个有点技术化，其实就是，面对一个西瓜和一个西瓜自己比，小明一样喜欢（A弱偏好于它自己）

3. 传递性Transitivity

如果”一个西瓜和一个苹果比，小明更喜欢一个西瓜；一个西瓜和一个橘子比，小明更喜欢一个橘子“，那么必须有”一个苹果和一个橘子比，小明更喜欢一个橘子“。这个就好像实数里面的3>2,2>1,所以必须有3>1而不能有1>3一样。

4. 连续性Continuity

这个技术性很强，就不做解释了，对我们的理解也没有太大的影响，有兴趣的同学可以翻书。（基本上就是排除了一种特殊的辞典式序列选择的可能）

5. 强单调性Strong Monotonicity

两个放有西瓜和橘子的篮子A和B给小明选，如果A里面西瓜至少和B里面一样多，而且A里面橘子比B里面多，那小明一定选A。简单说就是，别的东西都一样的情况下，某一件东西越多，小明越喜欢。

如果我们的偏好满足这五条公理，那么就一定能把这个关系里的每一个选择对应到实数集上，用一个数表示，也就是说，这套我们的偏好，可以用一个函数去表示，这就是效用函数。这个函数会满足这些性质：1.喜欢A超过喜欢B，等价于u(A)>u(B); 2. 喜欢A至少不少于喜欢B，等价于u(A)>=u(B); 3. u是一个连续函数。证明过程我就不写了，这个定理的名字叫Debru Existence Theorem.

而更有意思的是，这种u，不是唯一存在的。某一个偏好系统，可以对应好多好多满足上面1,2,3三个性质的函数u。或者简单说，每一种商品（消费束），你可以用不同的数去代表它，只要你最后组成的这个函数系统满足之前那一堆性质就行。事实上，如果某一个特定u，能表示这个偏好体系，那它的任意一个正单调变换，都能表示这个偏好体系。只要排序不乱，就可以！你给它全赋成负数都行！

所以写到这里，大家会发现，在完整的消费者行为模型里，几乎就是一个纯的序数效用，关键的东西不是具体的数字，而是某一种排序！效用函数u只是一个壳子，每一个商品对应的具体的数字效用，没什么自己的实际意义。

所以逻辑链就是：满足五公理的偏好系统→→存在满足三性质的函数u来表示它，且u不唯一。

PS：主要按着自己高微课老师给的notes写的，老师用的公理系统基本上集合了我接下来说到的三本参考书。因为notes和书里的术语都是英文，所以有点不确定有些中文翻译是不是准确，于是加了些英文在里面，不是我想装逼，真的不是TAT。然后公理叙述过程里的类比做了些简化，精确举例子说明弱偏好真的有点蛋疼，所以举的例子有些都是强偏好。
参考：
Microeconomic Theory, Mas-Colell, Whinston and Green
Microeconomic Analysis, Varian
Advanced Microeconomic Theory, Jehle and Reny

选自https://www.zhihu.com/question/34828294/answer/65849038